Die rutschende Leiter

Situation

An einer Wand lehnt eine Leiter, die zu Boden gleitet.

Skizze


Mit dem orangen Punkt A lässt sich die Leiter [AB] bewegen. Sie hinterlässt dabei eine Spur.

Spur der Leiter
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Fragen

  • Die verlängerte rutschende Leiter AB lässt sich als Gerade darstellen und beschreibt so eine Geradenschar. Welche Funktion hüllt diese Geradenschar ein?

  • Formuliere das Problem um. Wie lautet der Funktionsterm der Hüllkurve?

Hinweise

 Hinweis 1 ausblenden 
Damit die Aufgabe etwas einfacher wird, ist es sinnvoll, das Koordinatensystem so zu legen, dass der Punkt O im Ursprung liegt und die Leiter die Länge 1 besitzt.

Koordinatensystem

 Hinweis 2 ausblenden 

Zwischenschritt

Betrachte nun die Leiter an einer beliebigen Stelle x im Intervall [0;1].

Objekte einblenden

Bewege die Leiter und beobachte den Punkt S bei verschiedenen x-Werten.

Spur von S
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Ein Mausklick auf versetzt die Abbildung wieder in ihren Ausgangszustand.

 Hinweis 3 ausblenden 

Geradengleichung

Wie lautet die Geradengleichung der Gerade AB?

 Gleichung ausblenden 
Der Winkel AOB beträgt 90°.

Die Punkte (a;0) und (0;b) liegen auf der Geraden AB.

Funktion

 Herleitung ausblenden 
Bestimme den Wert a so, dass an der Stelle x der Funktionswert der Geraden AB maximal wird.

Betrachte dazu die Geradengleichung in Abhängigkeit von a.

Für welches a wird hx(a) maximal.

An der Stelle

besitzt die Funktion hx(a) ein Maximum.

Die einhüllende Funktion f(x) lautet daher

 Funktionsgraph einblenden 


© Carsten Miller, Lehrstuhl für Mathematik und ihre Didaktik, Universität Bayreuth